Die Mathematik hinter der Simulation

Dieses Modell beschreibt die Kernfusion in wenigen, bewusst vereinfachten Gleichungen, damit sie für alle verständlich ist. Das qualitative Verhalten bleibt dabei dasselbe: wie Temperatur, Dichte und Magnetfeld ein Plasma zünden, wann es stabil bleibt und wie viel Leistung ein Kraftwerk daraus gewinnt. Auf diesen Gleichungen ist die Simulation aufgebaut, in der sich jeder Effekt direkt ausprobieren lässt.

Zwei Hilfsfunktionen finden an vielen Stellen Verwendung. Die erste begrenzt einen Wert auf einen Bereich, die zweite bildet einen weichen Übergang von 0 nach 1.

$$\operatorname{clamp}(x, a, b) = \min(\max(x, a), b)$$

$x$

Eingangswert

$a,\ b$

Untere und obere Grenze des Bereichs

$$s(x;\ a, b) = u^2\,(3 - 2u), \qquad u = \operatorname{clamp}\left(\frac{x - a}{b - a},\ 0,\ 1\right)$$

$s$

Weicher Übergang: 0 bis zum Beginn, 1 ab dem Ende, dazwischen ein glatter Anstieg

$x$

Eingangswert

$a,\ b$

Beginn und Ende des Übergangs

$u$

Position zwischen Beginn und Ende, auf 0 bis 1 begrenzt

Brennstoffe

Das Modell betrachtet vier Brennstoffpaare. Die Werte sind gerundete Lehrbuchwerte.

$\text{D}$

Deuterium, schwerer Wasserstoff mit einem Neutron

$\text{T}$

Tritium, Wasserstoff mit zwei Neutronen

${}^{3}\text{He},\ {}^{4}\text{He}$

Helium-3 und Helium-4

$\text{p}$

Proton

$\text{n}$

Neutron

${}^{11}\text{B}$

Bor-11

Bei Deuterium und Tritium trägt das Neutron 14,1 MeV der Energie davon, der Heliumkern 3,5 MeV. Die Zündtemperatur heißt in den Gleichungen unten $T_\text{ign}$.

Größe der Atomkerne

Der Radius eines Atomkerns wächst mit der dritten Wurzel seiner Massenzahl. Die Simulation übernimmt dieses Verhältnis und zeichnet Deuterium mit 9 Pixeln Radius.

$$R = r_0\, A^{1/3}, \qquad r_0 = 1.2\ \text{fm}$$

$R$

Kernradius, ein Deuteriumkern ist etwa 4 fm groß

$r_0$

Radiuskonstante, für alle Kerne gleich

$A$

Massenzahl, also die Zahl der Protonen und Neutronen im Kern

$$R_\text{px} = 9\ \text{px} \times \left(\frac{A}{2}\right)^{1/3}$$

$R_\text{px}$

Gezeichneter Kernradius in Pixeln

$A$

Massenzahl, also die Zahl der Protonen und Neutronen im Kern

Ein Femtometer ist ein Billiardstel Meter. Die Simulation vergrößert die Kerne deshalb etwa eine Billion Mal.

Tokamak: Energiebilanz des Plasmas

Wie gern ein Brennstoff fusioniert, hängt steil von der Temperatur ab. Die Reaktivität steigt ab einem Viertel der Zündtemperatur an und sättigt knapp oberhalb davon.

$$r(T) = s(T;\ 0.25\, T_\text{ign},\ 1.15\, T_\text{ign})^2$$

$r$

Reaktivität zwischen 0 und 1: wie leicht der Brennstoff fusioniert

$T$

Plasmatemperatur in Millionen Grad Celsius

$T_\text{ign}$

Zündtemperatur des Brennstoffs aus der Tabelle oben

$s$

Weicher Übergang aus der zweiten Hilfsfunktion oben

$$R_\text{f} = n^2\, r(T)$$

$R_\text{f}$

Fusionsrate, ein Maß für die Zahl der Reaktionen pro Zeit

$n$

Brennstoffdichte zwischen 0 und 1; der Regler zeigt sie als bis zu 2 × 10²⁰ Teilchen pro Kubikmeter

$r$

Reaktivität zwischen 0 und 1: wie leicht der Brennstoff fusioniert

Die Fusionsrate wächst mit dem Quadrat der Dichte, weil für jede Reaktion zwei Kerne aufeinandertreffen müssen. Die Temperatur ändert sich durch Heizung, durch die Selbstheizung mit Heliumkernen und durch Verluste.

$$\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t} = P_\text{ext} + P_\alpha - \frac{T}{\tau_\text{E}}$$

$T$

Plasmatemperatur in Millionen Grad Celsius

$t$

Zeit in Sekunden

$P_\text{ext}$

Heizung von außen, in Millionen Grad pro Sekunde

$P_\alpha$

Selbstheizung durch die Heliumkerne aus den Fusionsreaktionen

$\tau_\text{E}$

Energieeinschlusszeit: ein stärkeres Feld hält die Wärme länger

$$P_\text{ext} = 220\, h + 500\, i, \qquad P_\alpha = 180\, R_\text{f}, \qquad \tau_\text{E} = 0.25 + 1.7\,\frac{B}{12}$$

$P_\text{ext}$

Heizung von außen, in Millionen Grad pro Sekunde

$h$

Heizleistung zwischen 0 und 1; der Regler zeigt sie als 0 bis 50 MW

$i$

Einspritzimpuls: springt beim Einspritzen auf 1 und klingt mit 1,4 pro Sekunde ab

$P_\alpha$

Selbstheizung durch die Heliumkerne aus den Fusionsreaktionen

$R_\text{f}$

Fusionsrate, ein Maß für die Zahl der Reaktionen pro Zeit

$\tau_\text{E}$

Energieeinschlusszeit: ein stärkeres Feld hält die Wärme länger

$B$

Magnetfeld in Tesla, zwischen 1 und 12

Die Simulation löst diese Gleichung in Zeitschritten von höchstens 0,05 Sekunden und hält die Temperatur zwischen 2 und 600 Millionen Grad.

Tokamak: Stabilität

Ein heißes, dichtes Plasma drückt stark gegen das Magnetfeld. Ist das Feld zu schwach für diesen Druck, bricht das Plasma zusammen. Entscheidend ist der Vergleich des Drucks mit einem Mindestfeld.

$$p = \frac{n\, T}{1000}, \qquad B_\text{min} = 0.6 + 5\sqrt{p}$$

$p$

Plasmadruck in vereinfachten Einheiten

$n$

Brennstoffdichte zwischen 0 und 1; der Regler zeigt sie als bis zu 2 × 10²⁰ Teilchen pro Kubikmeter

$T$

Plasmatemperatur in Millionen Grad Celsius

$B_\text{min}$

Mindestfeld, das diesen Druck gerade noch halten kann

$$T \leftarrow T \times 0.18^{\Delta t}, \qquad R_\text{f} \leftarrow 0.3\, R_\text{f}$$

$T$

Plasmatemperatur in Millionen Grad Celsius

$R_\text{f}$

Fusionsrate, ein Maß für die Zahl der Reaktionen pro Zeit

$\Delta t$

Länge eines Zeitschritts in Sekunden

Ist das Feld mindestens so stark wie das Mindestfeld, bleibt das Plasma stabil. Sonst kommt es zur Disruption: Temperatur und Fusionsrate fallen in Sekundenbruchteilen, wie in der zweiten Zeile beschrieben.

Tokamak: Leistung und Q-Wert

Ein brennendes Plasma liefert bis zu 1500 Megawatt elektrische Leistung. Die Leistung folgt der Fusionsrate mit einer Zeitkonstante von einer halben Sekunde.

$$P_\text{el} \leftarrow P_\text{el} + (1500\ \text{MW} \times R_\text{f} - P_\text{el}) \times \min(1,\ 2\,\Delta t)$$

$P_\text{el}$

Elektrische Leistung des Kraftwerks

$R_\text{f}$

Fusionsrate, ein Maß für die Zahl der Reaktionen pro Zeit

$\Delta t$

Länge eines Zeitschritts in Sekunden

$$Q = \frac{1500\ \text{MW} \times R_\text{f}}{P_\text{heiz}}, \qquad P_\text{heiz} = 50\ \text{MW} \times h + 1\ \text{MW}$$

$Q$

Q-Wert: Verhältnis von Fusionsleistung zu Heizleistung

$R_\text{f}$

Fusionsrate, ein Maß für die Zahl der Reaktionen pro Zeit

$P_\text{heiz}$

Heizleistung in Megawatt

$h$

Heizleistung zwischen 0 und 1; der Regler zeigt sie als 0 bis 50 MW

Der Q-Wert ist das Verhältnis von Fusionsleistung zu Heizleistung. Als gezündet gilt das Plasma, wenn es stabil ist, die Zündtemperatur erreicht hat und die Fusionsrate über 0,15 liegt.

Tokamak: Atomkerne im Plasma

Gleich geladene Kerne stoßen sich ab. Die Abstoßung folgt dem Coulomb-Gesetz, geglättet, damit sie bei sehr kleinem Abstand nicht unendlich groß wird.

$$a = \frac{k\, Z_1 Z_2}{d^2 + \varepsilon^2}, \qquad k = 14\,000\ \text{px}^3/\text{s}^2, \qquad \varepsilon^2 = 64\ \text{px}^2$$

$a$

Beschleunigung, mit der sich zwei Kerne abstoßen

$k$

Stärke der Abstoßung, an die Darstellung angepasst

$Z_1,\ Z_2$

Ladungszahlen der beiden Kerne; für Bor ist die Abstoßung fünfmal so stark wie für Wasserstoff

$d$

Abstand zweier Kerne; die Abstoßung wirkt bis 55 Pixel und ist auf 2200 px/s² begrenzt

$\varepsilon$

Glättungslänge, damit die Abstoßung bei kleinem Abstand endlich bleibt

$$v \leftarrow v + 0.07\,(v_\text{th} - v), \qquad v_\text{th} = 18 + 150\, \operatorname{clamp}\left(\frac{T}{T_\text{ign}},\ 0,\ 1.3\right)\ \text{px/s}$$

$v$

Geschwindigkeit eines Kerns in Pixeln pro Sekunde

$v_\text{th}$

Thermische Geschwindigkeit, auf die ein Thermostat jeden Kern zieht

$T$

Plasmatemperatur in Millionen Grad Celsius

$T_\text{ign}$

Zündtemperatur des Brennstoffs aus der Tabelle oben

Zwei Kerne verschmelzen, wenn sie sich näher kommen als das 1,13-Fache ihrer Radien, das Plasma stabil ist und heißer als 45 Prozent der Zündtemperatur. Das leichte Reaktionsprodukt fliegt dann mit 320 px/s in eine zufällige Richtung davon. Bei Deuterium-Tritium und Deuterium-Deuterium ist das ein Neutron, bei Deuterium-Helium-3 ein Proton und bei Proton-Bor ein Heliumkern. In der Simulation folgt die Zahl der gezeigten Kerne der Dichte.

$$N = \operatorname{round}(6 + 20\, n)$$

$N$

Zahl der gezeigten Kerne

$n$

Brennstoffdichte zwischen 0 und 1; der Regler zeigt sie als bis zu 2 × 10²⁰ Teilchen pro Kubikmeter

Stellarator: Einschluss ohne Plasmastrom

Der Stellarator folgt denselben Gleichungen wie der Tokamak, mit zwei Unterschieden. Seine verdrillten Spulen halten das Plasma ohne Plasmastrom, deshalb kann es nicht zur Disruption kommen. Und wie gut die Wärme eingeschlossen bleibt, hängt zusätzlich von der Form der Spulen ab.

$$\tau_\text{E} = \left(0.25 + 1.7\,\frac{B}{12}\right) \times (0.55 + 0.5\, o)$$

$\tau_\text{E}$

Energieeinschlusszeit: ein stärkeres Feld hält die Wärme länger

$B$

Magnetfeld in Tesla, zwischen 1 und 12

$o$

Spulen-Optimierung zwischen 0,3 und 1

Übersteigt der Druck, was das Feld halten kann, sinkt die Einschlusszeit, statt dass das Plasma zusammenbricht. Es brennt weiter, nur schlechter.

$$\tau_\text{E} \leftarrow 0.45\, \tau_\text{E} \qquad (B < B_\text{min})$$

$\tau_\text{E}$

Energieeinschlusszeit: ein stärkeres Feld hält die Wärme länger

$B$

Magnetfeld in Tesla, zwischen 1 und 12

$B_\text{min}$

Mindestfeld, das diesen Druck gerade noch halten kann

Mindestfeld, Fusionsrate, elektrische Leistung und die Atomkerne im Plasma berechnet die Simulation wie beim Tokamak.

Laser: Gewinn eines Schusses

Bei der Laserfusion entscheidet vor allem die Symmetrie der Strahlen. Der Gewinnfaktor eines Schusses ist das Produkt aus einem Grundwert des Brennstoffs und zwei Faktoren für Symmetrie und Laserenergie.

$$G = G_\text{B} \times f_\sigma \times f_\text{E}$$

$G$

Gewinnfaktor des Schusses: Ausbeute geteilt durch Laserenergie

$G_\text{B}$

Grundgewinn des Brennstoffs: 110 für D-T, 38 für D-D, 72 für D-³He, 30 für p-¹¹B

$f_\sigma$

Faktor für die Strahlsymmetrie

$f_\text{E}$

Faktor für die Laserenergie

$$f_\sigma = s(\sigma;\ 0.5,\ 0.95)^2, \qquad f_\text{E} = 0.4 + 0.6\, \operatorname{clamp}\left(\frac{E_\text{L} - 0.5\ \text{MJ}}{2.5\ \text{MJ}},\ 0,\ 1\right)$$

$f_\sigma$

Faktor für die Strahlsymmetrie

$f_\text{E}$

Faktor für die Laserenergie

$s$

Weicher Übergang aus der zweiten Hilfsfunktion oben

$\sigma$

Strahlsymmetrie zwischen 0,3 und 1; unter 0,7 verpufft die Implosion

$E_\text{L}$

Laserenergie zwischen 0,5 und 3 MJ

$$Y = E_\text{L} \times G, \qquad P_\text{el} = Y \times 10\ \text{Hz} \times 0.4$$

$Y$

Energieausbeute des Schusses

$E_\text{L}$

Laserenergie zwischen 0,5 und 3 MJ

$G$

Gewinnfaktor des Schusses: Ausbeute geteilt durch Laserenergie

$P_\text{el}$

Elektrische Leistung des Kraftwerks

Ein Laserkraftwerk zündet zehn Schüsse pro Sekunde und wandelt 40 Prozent der Wärme in Strom um. In der Simulation dauert ein Schuss drei Sekunden. Kompression, Zündung und Brand folgen der Zeitachse von 0 bis 1 mit weichen Übergängen.

$$e(t) = \begin{cases} 2t^2 & t < 0.5 \\ 1 - \dfrac{(2 - 2t)^2}{2} & t \geq 0.5 \end{cases}$$

$e$

Fortschritt der Animation zwischen 0 und 1

$t$

Zeitachse des Schusses zwischen 0 und 1

Vergleich mit Kohle und Wind

Der Vergleich rechnet die Kraftwerksleistung auf ein Jahr hoch. Grundlage ist ein Megawatt elektrische Leistung bei 90 Prozent Auslastung und 40 Prozent Wirkungsgrad. Das entspricht rund 7,1 × 10¹³ Joule Wärme im Jahr.

$$m_\text{F} = 0.21\ \text{kg} \times \frac{P}{\text{MW}} \times \frac{3.4 \times 10^{11}\ \text{J/g}}{e}$$

$m_\text{F}$

Fusionsbrennstoff pro Jahr

$P$

Elektrische Leistung des Kraftwerks

$e$

Energiedichte des gewählten Brennstoffs aus der Tabelle oben

$$m_\text{Kohle} = 2470\ \text{t} \times \frac{P}{\text{MW}}, \qquad m_{\text{CO}_2} = 6160\ \text{t} \times \frac{P}{\text{MW}}$$

$m_\text{Kohle}$

Steinkohle pro Jahr

$m_{\text{CO}_2}$

CO₂ aus der Verbrennung dieser Kohle pro Jahr

$P$

Elektrische Leistung des Kraftwerks

$$N_\text{Wind} = \frac{P}{4\ \text{MW} \times 0.30}, \qquad N_\text{Kohle} = \frac{P}{400\ \text{MW}}$$

$N_\text{Wind}$

Windräder mit 4 MW, die im Mittel 30 Prozent ihrer Leistung liefern

$N_\text{Kohle}$

Kohlekraftwerksblöcke mit je 400 MW

$P$

Elektrische Leistung des Kraftwerks

Für Deuterium-Tritium ergibt das rund 210 Gramm Brennstoff pro Megawatt und Jahr. Steinkohle mit etwa 29 Megajoule pro Kilogramm braucht für dieselbe Wärme rund 2470 Tonnen, bei ihrer Verbrennung entstehen etwa 6160 Tonnen CO₂.